Olá, pessoal!

Segue algumas questões comentadas de Matemática sobre equações exponenciais e trigonométricas.

Espero que gostem.

Bons estudos!

1) 2012 – CESGRANRIO – Petrobras

A figura mostra um quadrado cujos lados medem 2 metros, e uma região sombreada, na qual a medida do ângulo α, em radianos, é tal que α [π/4 ,π/2].  

A área da região sombreada, dada em m2, é igual a

a) 2/tg(α)

b) 4/tg(α)

c) 2+4/tg(α)

d) 2-4/tg(α)

e) 4-2/tg(α)

Resolução:

Para calcular a área escura vamos calcular a seguinte diferença:

Área do quadrado Área do triângulo da esquerda = Área exigida pela questão

(lado x lado)        (base x altura)=                   X

2

O lado do quadrado vale 2.

A altura do triângulo da esquerda (parte clara da figura) é o lado esquerdo do quadrado, medindo 2m

A base do triângulo é o lado de cima do triângulo da esquerda), que não conhecemos.

(2 x 2) – (base x 2)  =  X

2

4 – base  =  x   (chamemos de equação 1)

Precisamos ainda descobrir o valor da base.

Para tanto, usaremos a tangente do ângulo.

tg alfa = cateto oposto / cateto adjacente

O ângulo alfa descrito na figura é alterno interno com o ângulo superior direito do triângulo. O lado 2 é o seu cateto oposto e a base e a base do quadrado é o seu cateto adjacente.

Assim,

tg alfa =  2

base do quadrado

base = 2/(tg alfa)   (chamemos de equação 2)

Então, substituindo a equação 2 na equação 1, teremos

X = 4 – 2/(tg alfa)

Existe também um outro raciocínio bem mais simples, porém menos seguro do que os cálculos realizados. Não é em qualquer questão que ele pode ser aplicável.

A área pintada da figura corresponde a área do quadrado menos a área do triângulo não pintado. Percebe-se que o quadrado tem lado 2, logo sua área é 4 cm2. Então, a área pintada é 4 menos algum valor, e se verificarmos as alternativas existe uma única alternativa contemplando isso: a alternativa e), com 4 – (2/tg alfa)

Resposta: e)

2) 2017 – CESGRANRIO – PETROBRAS

Quantos valores reais de x fazem com que a expressão   assuma valor numérico igual a 1? 

Parte superior do formulário

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolução:

A expressão pode assumir o valor de 1 em 3 casos distintos:

  1. expoente igual a zero, pois “todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1”;
  2. base igual a 1;
  3. base igual a -1 e expoente par.

Hipótese 1)

Vamos procurar os valores de x que fazem com que o expoente seja igual a zero.

x² + 4x – 60 = 0

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 4² – 4 . 1 .(-60)

Δ = 16 + 240

Δ = 256

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b + √Δ)/2a

x = (-4 + √256)/2.1

x = (-4 + 16)/2

x’ = 12/2 = 6

x” = -20/2 = -10

Hipótese 2)

Vamos procurar os valores de x que fazem a base ser igual a 1.

x² – 5x + 5 = 1

x² – 5x + 5 – 1 = 0

x² – 5x + 4 = 0

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-5)2 – 4.1.4

Δ = 25 – 16

Δ = 9

Aplicando Bhaskara:

x = (-b + √Δ)/2a

x = (-(-5) + √9)/2.1

x = (5 + 3)/2

x’ = 8/2 = 4

x” = 2/2 = 1

Hipótese 3)

Vamos procurar os valores de x que fazem a base ser igual a -1.

x² – 5x + 5 = -1

x² – 5x + 5 + 1 = 0

x² – 5x + 6 = 0

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-5)² – 4 . 1 . 6

Δ = 25 – 24

Δ = 1

Aplicando Bhaskara:

x = (-b + √Δ)/2a

x = (-(-5) + √1)/2.1

x = (5 + 1)/2

x’ = 6/2 = 3

x” = 4/2 = 2

Basta agora verificar se os expoentes serão pares em algum desses dois casos.

Para x = 2

x² + 4x – 60

2² + 4.2 – 60

4 + 8 – 60

-48 (par)

Para x = 3

x² + 4x – 60

3² + 4.3 – 60

9 + 12 – 60

-39 (ímpar)

Assim, existem 5 valores de x que fazem a expressão assumir o valor numérico 1:

-10, 1, 2, 4 e 6

Resposta: d)

3) 2014 – CESGRANRIO – PETROBRAS

Considerando-se a equação

6x-1 + 6x-2 = 1

61-x + 62-x 

a soma de todos os elementos de seu conjunto solução é igual a

Parte superior do formulário

a) – 1,5

b) 0

c) 1,5

d) 3,5

e) 6

Resolução:

[(6x.6-1)+(6x/62)]/[(61.6-x)+(62.6-x)] = 1

[6x/6 + 6x/62]/[6/6x + 62/6x] = 1

6x/6 + 6x/62 = 6/6x + 62/6x

Para facilitar a conta chamaremos 62 de A:

A/6 + A/36 = 6/A + 36/A

(6A+A)/36 = (6+36)/A

7A/36 = 42/A

7A2 = 1512

A2 = 216

(6x)2 = 216

62x = 216

OBS: pelo mmc: 216 = 63

62x = 63 =>2x = 3 =>x = 3/2 =>x = 1,5

Resposta: c)

 

4) 2014 – CESGRANRIO – PETROBRAS

Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y=i0.(0,6)x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3

A profundidade desse lago, em cm, está entre.

Dados

log 2 = 0,30

log 3 = 0,48

a) 150 e 160

b) 160 e 170

c) 170 e 180

d) 180 e 190

e) 190 e 200

Resolução:

Y = i . (0,6)x/88

i/3 = i * 0,6x/88

Corta os “i

1/3 = 0,6x/88

Agora vamos trabalhar com logaritmos.

log(1/3) = log(6/10)x/88

log 1 – log 3 = x/88 . (log 6 – log 10)

log 1 – log 3 = x/88 . (log 2 + log 3 – log 10)

0 – 0,48 = (x/88). (0,30 + 0,48 – 1)

-0,48 . 88 = x . (-0,22)

-42,24 = -0,22x

Multiplique por (-1)

42,24 = 0,22x

x = 42,24/0,22

x = 192

A profundidade desse lago, em cm, está entre 190 e 200

Resposta: e) 

5) 2010 – CESGRANRIO – PETROBRAS

Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo medicamento a um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do medicamento no organismo reduz em função do tempo t, em horas, de acordo com a função  onde  representa a concentração inicial de tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo com essas informações, após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial ?

a) 4

b) 8

c) 10

d) 12

e) 16

Resolução:

O ponto central da questão é entender que quando o enunciado fala “após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial (Ci)“, esta parte do enunciado afirma para você considerar C(t) = 1/8.(Ci).

Logo substituindo na fórmula temos que:

C(t)=Ci.(1/2)0,25t

1/8.Ci=Ci.(1/2)0,25t

O Ci da esquerda passa dividindo o Ci da direita, logo cortamos.

1/8=(1/2)0,25t

Lembramos que 1/8 é a mesma coisa que 2-3

e que 1/2 é igual a 2-1

Então temos:

2-3=2-0,25t

Como temos a base 2 igual dos dois lados, podemos cortar. Logo:

-3=-0,25t

3/0,25=t

t=12

Resposta:d)

Abraços.

Professor Fábio dos Santos.

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Autor(a): Professor Fábio dos Santos

Professor de Matemática (Geral, Financeira, Estatística), Raciocínio Lógico, Ética no Serviço Público e de Administração Geral e Pública. Advogado cível e trabalhista há 10 anos, professor e palestrante. Ex oficial da FAB concursado (Intendência-Administração). Experiência em processos administrativos, contratos e ações judiciais. Experiência em Gestão de Cadeia de abastecimento, Gestão de Materiais, Logística de Transportes, Gestão Pública, Licitações e Gestão de Contratos. Experiência em instrução e palestras sobre Empreendedorismo, Start Ups, Administração Geral, Gestão de Materiais e Logística. Mentor e palestrante no Start Up Weekend 2017 (Parque Tecnológico de São José dos Campos). Artigo publicado em congresso internacional (II CICTED - Taubaté). Premio de inovação e empreendedorismo (ITA Challenge). FORMAÇÃO (https://br.linkedin.com/in/fabio-dos-santos-7a2b6452): Mestrado em Engenharia de Produção (ITA- Instituto Tecnológico de Aeronáutica) Pós Graduação Gestão da Cadeia de Abastecimento Pós Graduação em Direito do Trabalho Pós Graduação em Logística Graduação em Administração Graduação em Direito (Universidade Gama Filho)

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